【牛体力学】 前置：场论及张量

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0x00 引子

由于研究方向的改变，因此需要重点学习流体力学相关的知识。出于知识分享及整理的目的进行相关的整理，以求日后备用。

当前阶段主要参考资料：

• 钱宁, 万兆惠. 泥沙运动力学 [M]. 北京: 科学出版社, 1983.
• 吴望一. 流体力学 [M]. 北京: 北京大学出版社, 1982.
• 张兆顺, 崔桂香. 流体力学 (第 3 版) [M]. 北京: 清华大学出版社, 2015.
• 邵学军, 王兴奎. 河流动力学概论 [M]. 北京: 清华大学出版社, 2005.
• 谢树艺. 矢量分析与场论 (第 4 版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2012.

0x01 场论

什么是场？我们其实很早就知道电场、磁场这种概念，但是流体力学中的场，我们应该从欧拉场和拉格朗日观点来说（以后的文章我们会进行讨论）。

在物理里，场（英语：Field）是一个以时空为变数的物理量。空间中弥漫着的基本相互作用被命名为“场”。
维基百科

可以很容易就能得出：以往的各种变量均可以利用$\phi = f(x,y,z,t)$
来表示，也即仅考虑某一时间内，各个变量在空间的分布，而不是追踪各个粒子在空间的变化。通过这种转换，可以避免研究于单个粒子并非整体研究。

我们主要讨论的是标量场（温度场）和矢量场（速度场）。

场中的矢量线定义为：场中的线，每一点的切向方向均与该点矢量方向重合，用数学公式表示，记为：${\bf a} \times dr = 0$。这个定义很重要，在之后的流线、涡线都用得上。

0x01.1 方向导数及梯度

在讨论非均匀场的时候，往往需要知道其不均匀性该如何表达，因此引入方向导数的概念，也即场内某个量沿着指定曲线方向的变化率。

设场中某点 $M(x, y, z)$，沿某一方向 ${\bf s}$（方向余弦为 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$）的变化率，其数学定义为：

$\frac{\partial \phi}{\partial s} = \frac{\partial \phi}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial \phi}{\partial y}\cos \beta + \frac{\partial \phi}{\partial z}\cos \gamma$

为了更紧凑地表达这一概念，我们引入梯度 (Gradient)。梯度是一个矢量，记作 ${\bf grad}\ \phi$ 或 $\nabla \phi$。

梯度的物理意义非常关键：

1. 方向：指向标量场 $\phi$ 增长最快的方向（即法线方向 ${\bf n}$）。
2. 大小：等于该方向上的最大变化率。

利用梯度，方向导数可以写成点积形式：

$\frac{\partial \phi}{\partial s} = \nabla \phi \cdot {\bf s}^\circ$

0x01.2 散度及奥——高定理

如果说梯度是描述标量场的最大变化率，那么散度 (Divergence) 则是描述矢量场在某一点的“通量源”强度。

对于矢量场 ${\bf A}$，其散度定义为单位体积内的通量：

$\text{div}\ {\bf A} = \nabla \cdot {\bf A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$

物理意义：

1. $\text{div}\ {\bf A} > 0$：该点为源 (Source)，有流体流出。
2. $\text{div}\ {\bf A} < 0$：该点为汇 (Sink)，有流体汇入。
3. $\text{div}\ {\bf A} = 0$：无源无汇。对于不可压缩流体（如水），速度场的散度为零（$\text{div}\ {\bf u} = 0$），这即是连续性方程的物理本质。

奥斯特罗格拉茨基——高斯定理 (Gauss-Ostrogradsky Theorem)： 该定理建立了体积分与面积分之间的联系。它表明：矢量场穿过闭合曲面 $S$ 的通量，等于该矢量场的散度在闭合曲面所包围体积 $V$ 内的积分。

$\iiint_V (\text{div}\ {\bf A}) dV = \oiint_S {\bf A} \cdot d{\bf S}$

0x01.3 旋度及斯托克斯公式

流体运动除了平移和变形，还有旋转。旋度 (Curl) 就是描述矢量场微团旋转强度的物理量。

对于矢量场 ${\bf A}$，旋度是一个矢量，记为 $\text{rot}\ {\bf A}$ 或 $\text{curl}\ {\bf A}$，亦可用算子表示为 $\nabla \times {\bf A}$。

其直角坐标表达式为行列式形式：

$\text{curl}\ {\bf A} = \nabla \times {\bf A} = \left| \begin{matrix} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{matrix} \right|$

斯托克斯公式 (Stokes’ Theorem)： 该定理建立了面积分与线积分之间的联系。它表明：矢量场沿闭合曲线 $L$ 的环量，等于该矢量场的旋度在以 $L$ 为边界的任意曲面 $S$ 上的通量。

$\oint_L {\bf A} \cdot d{\bf r} = \iint_S (\text{curl}\ {\bf A}) \cdot d{\bf S}$

0x02 哈密顿算子

在流体力学的推导中，如果不引入简化的算子符号，公式将会变得极其冗长且难以阅读。哈密顿算子（Hamiltonian Operator，又称 Nabla 算子）$\nabla$ 是最强有力的工具。

0x02.1 哈密顿算子含义

哈密顿算子 $\nabla$ 在直角坐标系下的定义为：

$\nabla = {\bf i} \frac{\partial}{\partial x} + {\bf j} \frac{\partial}{\partial y} + {\bf k} \frac{\partial}{\partial z}$

在这里需要额外强调它具有双重性质：

1. 矢量性：它可以被视为一个矢量，参与点积（$\cdot$）和叉积（$\times$）运算。
2. 微分性：它是一个偏微分算子，作用于其右侧的函数。

注意： 运算顺序至关重要。例如 $\nabla \cdot {\bf A}$ 是散度（标量），而 ${\bf A} \cdot \nabla$ 是一个算子（对流算子），两者截然不同。

0x02.2 一些公式的哈密顿算子引入

梯度： $\text{grad}\ \phi = \nabla \phi$
散度： $\text{div}\ {\bf A} = \nabla \cdot {\bf A}$
旋度： $\text{rot}\ {\bf A} = \nabla \times {\bf A}$

奥—高定理：$\iiint_V (\nabla \cdot {\bf A}) , dV = \oiint_S {\bf A} \cdot d{\bf S}$
斯托克斯公式：$\oint_L {\bf A} \cdot d{\bf r} = \iint_S (\nabla \times {\bf A}) \cdot d{\bf S}$

0x02.3 拉普拉斯符号

在流体力学方程（尤其是 N-S 方程）中，我们还会频繁遇到以下两种复杂运算，必须在此处进行定义。

拉普拉斯算子 (Laplacian)

当 $\nabla$ 对标量场先求梯度，再求散度时，即 $\nabla \cdot (\nabla \phi)$，我们得到了拉普拉斯算子 $\nabla^2$（有时也写作 $\Delta$）：

$\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

对流算子 (Convective Operator)

这是流体力学中最具特色的算子，来源于流体质点加速度的欧拉描述（物质导数）。 表达式为 $({\bf u} \cdot \nabla)$，其中 ${\bf u}$ 为速度矢量。

展开来看，它是一个标量算子，作用于矢量：

$({\bf u} \cdot \nabla) = u_x \frac{\partial}{\partial x} + u_y \frac{\partial}{\partial y} + u_z \frac{\partial}{\partial z}$

当它作用于速度本身时 $({\bf u} \cdot \nabla){\bf u}$，即构成了 N-S 方程中著名的非线性对流项。

0x03 张量

我们简单写一个流体力学中的常用公式：不可压缩流体的质量守恒方程（微分形式）：

$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$

用哈密顿算子表示可以简化为：

$\nabla \cdot {\bf U} = 0$

这已经是较为简单的写法，但是往往还会遇到比较复杂的 xyz 三个变量的梯度，那么这样的势必会出现 3 * 3 = 9 个变量，如果再使用标量书写将会非常麻烦，因此需要引入新的书写方式。

0x03.1 张量定义

简单理解就是：0 阶张量是标量；1 阶张量是向量；2 阶张量是矩阵；3 阶及以上张量在流体力学中很少使用。

采用更加标准的定义则为：

设在直角坐标系 $Ox_1x_2x_3$ 中，有 $3^n$ 个分量组成的集合 $T_{i_1i_2...i_n}$。若当坐标系旋转为 $Ox'_1x'_2x'_3$ 时（变换矩阵为 $a{ij}$，即 $x'_i = a_{ij}x_j$），新分量满足：

$T'{i_1i_2...i_n} = a{i_1j_1} a_{i_2j_2} ... a_{i_nj_n} T_{j_1j_2...j_n}$

则称该集合为一个 n 阶张量。

0 阶张量（标量）： 1 个分量，如压力 $p$、温度 $T$。

1 阶张量（矢量）： 3 个分量，如速度 $u_i$。

2 阶张量（矩阵）： 9 个分量，如应力张量 $\tau_{ij}$、变形速率张量 $S_{ij}$。

0x03.2 张量相关计算及爱因斯坦求和公约

为了简化求和号 $\sum$，我们约定：在一个项中，如果同一个指标出现两次，则表示对该指标在所有维数（1, 2, 3）上求和。

爱因斯坦求和：
$a_i b_i = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ （即点积 ${\bf a} \cdot {\bf b}$）

Kronecker delta 符号 ($\delta_{ij}$):
$\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \ 0, & i \neq j \end{cases}$

它在计算中具有“换标”作用：$a_i \delta_{ij} = a_j$。

排列符号 / Levi-Civita 符号 ($\epsilon_{ijk}$):
用于表示叉积。当指标为正序排列（123, 231, 312）时为 1，逆序（132, 213, 321）时为 -1，有重复指标时为 0。

\epsilon - \delta 恒等式，可用于化简计算：

$$\epsilon_{ijk}\epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$$

0x03.3 一些公式的张量写法

引入张量符号后，复杂的矢量运算变得极度简洁：

梯度： $(\nabla \phi)_i = \partial_i \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x_i}$

散度： $\nabla \cdot {\bf u} = \partial_i u_i$

旋度： $(\nabla \times {\bf u})_i = \epsilon_{ijk} \partial_j u_k$

对流项： $[({\bf u} \cdot \nabla){\bf u}]_i = u_j \partial_j u_i$ （这是 N-S 方程中最常见的形式）

0x03.4 张量识别定理、二阶张量及其性质

张量识别定理可以用来判断一个未知量是不是张量、是几阶张量。其核心思想是：

1. 若某未知量与任意已知张量按某种收缩/乘积运算后，总能得到一个在坐标旋转下满足张量变换律的量，则该未知量本身也必为张量。
2. 阶数可由“自由指标个数”判断：等式两侧自由指标必须一致，重复指标表示求和并被消去。

在指标记号中，可以更直观地理解这个规则。

设 $Q_{i_1...i_m}$ 为任意 $m$ 阶张量，若 $P_{i_1...i_mj_1...j_n}Q_{j_1...j_n}$ 对任意 $Q$ 都是 $m$ 阶张量，则 $P$ 必是 $(m+n)$ 阶张量。

例如，上文的叉积写成：

$$({\bf a}\times{\bf b})_{i} = \epsilon_{ijk}a_jb_k$$

左侧有一个自由指标 $i$（一阶张量），右侧 $a_jb_k$ 为二阶对象，因此 $\epsilon_{ijk}$ 必为三阶张量。

二阶张量在流体力学中最常见。设二阶张量 $A_{ij}$，它有以下几个关键性质。

1. 对称与反对称分解（唯一分解）

   $$A_{ij}=S_{ij}+\Omega_{ij},\quad S_{ij}=\frac12(A_{ij}+A_{ji}),\quad \Omega_{ij}=\frac12(A_{ij}-A_{ji})$$

   其中 $S_{ij}=S_{ji}$ 为对称部分，$\Omega_{ij}=-\Omega_{ji}$ 为反对称部分。

2. 迹（trace）与球张量分解

   $$\mathrm{tr}(A)=A_{ii}$$

   $$A_{ij}=\underbrace{\frac13A_{kk}\delta_{ij}}_{\text{各向同性(球)部分}} +\underbrace{\left(A_{ij}-\frac13A_{kk}\delta_{ij}\right)}_{\text{偏张量(无迹)部分}}$$

   该分解在应力张量中非常重要：球部分对应平均正应力（压力），偏张量对应剪切效应。

3. 二阶张量不变量

   在正交坐标旋转下，下列量保持不变（对任意二阶张量常用）：

   $$I_1=A_{ii},\qquad I_2=\frac12\left[(A_{ii})^2-A_{ij}A_{ji}\right],\qquad I_3=\det(A)$$

   这些不变量常用于判断流动状态、构造无关坐标系的本构关系。

4. 流体力学中的典型例子：速度梯度张量

   速度场 ${\bf u}$ 的梯度 $\partial_j u_i$ 是二阶张量，可分解为：

   $$\partial_j u_i = D_{ij}+W_{ij},\quad D_{ij}=\frac12(\partial_j u_i+\partial_i u_j),\quad W_{ij}=\frac12(\partial_j u_i-\partial_i u_j)$$

   其中 $D_{ij}$ 是形变速率张量（控制拉伸与剪切变形），$W_{ij}$ 是旋转张量（描述局部刚体转动）。

   对于不可压缩流体，连续性方程 $\partial_i u_i=0$，即 $\mathrm{tr}(\partial_j u_i)=0$，说明速度梯度张量的迹为零。

0x04 较复杂的案例

0x04.1 欧拉公式并矢化简

在欧拉观点中，常会遇到并矢（dyadic）项 $\nabla\cdot(\mathbf{v}\mathbf{v})$。
这里 $\mathbf{v}\mathbf{v}$ 是二阶张量，其分量为 $(\mathbf{v}\mathbf{v})_{ij}=v_iv_j$。

按分量展开，$\nabla\cdot(\mathbf{v}\mathbf{v})$ 的第 $i$ 个分量为：

$$[\nabla\cdot(\mathbf{v}\mathbf{v})]_i=\partial_j(v_iv_j) =v_j\partial_j v_i+v_i\partial_j v_j$$

故可写成紧凑矢量形式：

$$\nabla\cdot(\mathbf{v}\mathbf{v}) =(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}+\mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{v})$$

这条恒等式非常重要：

1. 可压缩流体中，需保留第二项 $\mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{v})$。
2. 不可压缩流体中，$\nabla\cdot\mathbf{v}=0$，于是

$$\nabla\cdot(\mathbf{v}\mathbf{v})=(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$$

因此，0x04.2 中对对流项 $(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$ 的兰姆分解，也可直接用于并矢散度项的进一步化简。

0x04.2 兰姆方程中加速度分解

欧拉描述下，流体质点加速度为：

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$$

其中非线性对流项可以化为兰姆形式：

$$(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=\nabla\!\left(\frac{v^2}{2}\right)+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}, \qquad \boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{v}$$

下面用指标记号证明。先写出第 $i$ 个分量：

$$[(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}]_i=v_j\partial_j v_i$$

再看右侧第二项：

$$(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v})_i =\epsilon_{ijk}\omega_jv_k =\epsilon_{ijk}\epsilon_{jmn}(\partial_m v_n)v_k$$

利用恒等式 $\epsilon_{ijk}\epsilon_{jmn}=\delta_{in}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kn}$ （需要注意这里的ijk中已取反），得

$$(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v})_i =(\delta_{in}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kn})(\partial_m v_n)v_k =v_k\partial_k v_i-v_k\partial_i v_k$$

而

$$\left[\nabla\!\left(\frac{v^2}{2}\right)\right]_i =\partial_i\!\left(\frac{v_kv_k}{2}\right) =v_k\partial_i v_k$$

故

$$\left[\nabla\!\left(\frac{v^2}{2}\right)+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}\right]_i =v_k\partial_i v_k+(v_k\partial_k v_i-v_k\partial_i v_k) =v_j\partial_j v_i$$

即证：

$$(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=\nabla\!\left(\frac{v^2}{2}\right)+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}$$

因此加速度也可写为兰姆形式：

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} +\nabla\!\left(\frac{v^2}{2}\right)+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}$$