【牛体力学】流体力学的基本概念 1

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0x00 引子

上一篇文章主要是为了便于接下来的公式推导，因此讲的较为琐碎。从这里，我们开始对流体力学进行正式的学习。由于本人没有学过传统意义上的三大力学，直奔流体力学，加之本人的物理学的足够差劲，因此会有大量的错误，敬请批评指正。

0x01 连续介质假设

经典力学（如质点力学、刚体力学）主要研究离散的质点或具有固定拓扑结构的刚性系统，其运动规律遵循常微分方程。以固体（如砖块）为例，其宏观运动与内部微小形变（弹性、塑性）通常可解构处理。

相比之下，流体具有无固定形状与易流动性的本质特征。流体在静止状态下无法承受剪切力，微小的扰动即可诱发剧烈且连续的变形，也即为牵一发而动全身。因此迫切需要一种新的方式来解读，目前主要可以分为基于统计物理和基于连续介质假设理论的两种方式。基于微观分子碰撞虽然理论完备，但在处理工程尺度的宏观输运时，计算开销极其恐怖，并非目前研究的主流，且不是目前我的研究重点，因此不做过多介绍。

连续介质假设的准确定义为流体质点连续无空隙充满真实流体，其为微观上充分大，而宏观充分小的分子团。微观充分大以体现分子群体特性，不会因为不够大而造成均值不稳定的情况，而宏观充分小则满足在空间上的物理特性是均匀的，可以视为一个点。这两者共同保证了物理量在空间分布上的连续性与可微性。

在这里举一些例子，如稀薄行星气体，因为分子间距过大，因此无法满足连续介质假设；而微观的分子级别的运动，也是无法满足的。而我们自然状态下的水流、气流乃至更大尺度的大气环流和洋流，都是遵循这一假设的。

值得指出的是，我们在空间上做出了这样的规定，在时间上也需要做出类似的规定，其核心思想与连续函数的微积分类似。

0x02 流体的性质和分类

流体主要有三个性质：易流动性、黏性及可压缩性，也由此产生了不同种类的流体及运动。

1. 易流动性

   固体在静止时可承受切向应力，在发生变形后会达到平衡状态，但流体不能承受切向应力，只要存在切向应力且持续施加，势必会发生流体变形和流动。这种性质即为可流动性。

2. 黏性

   流体在运动时，对邻两层因为分子输运而产生抵抗相对滑动的性质称之为黏性。一般来说，相对速度越大，黏性应力越大。而空气等黏性较小，或者流速较慢，黏性应力较小的前提下，是可以忽略的。

   因此，不考虑黏性的流体称之为理想流体，这种流体并不存在，只是为了研究简化得来。而在理想流体中，热传导和扩散等分子输运性质的现象也不考虑，因为其与黏性共享一样的机制。

3. 压缩性

   流体质点的体积或密度在压强及温度变化的条件下可发生改变的现象称之可压缩性。

   忽略流体可压缩性性质的流体称之为不可压缩流体，同样，这种流体也没有真实存在。但在一定的条件下是可以进行如此简化的，如较低速度的空气流动和一般的水流运动；但在另一些特殊情况下就不可以进行简化，如水锤效应和超音速运动时。

在空间上，各个点的流动情况都一致的流体运动称之为均匀流动；在时间上，每个时间内的流动都是一致的（哪怕空间分布上不一致）称为恒定流动；而在空间和时间上，各个点都保持一致的分量的流动称之为恒定均匀流动。

0x03 描述流体运动的拉格朗日观点和欧拉观点

由于流体的可流动性，因此如何描述流体在空间的运动就存在一定的挑战。主要可以分为着眼于流体质点运动轨迹的拉格朗日观点和整体空间内流体流动的欧拉观点，现在分别进行介绍。

0x03.1 拉格朗日观点

拉格朗日方法着眼于流体质点，设法描述每个流体质点自始至终的运动过程，如果知道了全部的流体质点，整体的流动状况也已经确定。

用数学公式可表示为：

$\mathbf{r}=\mathbf{r}(a, b, c, t)$

式中，$\mathbf{r}$ 为径矢，而在空间直角坐标系中可以用 $x, y, z$ 等表示。

由速度和加速度定义可知：

$\mathbf{v}=\frac{\partial \mathbf{r}(a, b, c, t)}{\partial{t}}$

$\mathbf{a}=\frac{\partial \mathbf{r}(a, b, c, t)^2}{\partial^2{t}}$

0x03.2 欧拉观点

欧拉观点与拉格朗日观点不同，着眼于空间点，如果在该空间点的流体质点的运动状态已经确定，那么通过所有的空间点也可以确定流体整体的运动状态。

与拉格朗日不同的是，我们无法追踪所有的流体质点的运动状态，仅可通过固定点上的流体质点的速度来确定，因此公式如下。

$\mathbf {v} =\mathbf {v} (\mathbf{r},t)$

此外，往往我们还需要知道压强、密度、温度等变量，因此还需要

$p=p(\mathbf{r},t) $

$\rho=\rho(\mathbf{r},t) $

$T=T(\mathbf{r},t) $

在加速度求解上，则会稍显复杂：

0x03.2.1 导数定义出发

已知加速度就是速度的导数，假设速度函数存在一阶偏导数，根据加速度的定义可知

$\frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{v} (M',t+\Delta t)-\mathbf{v}(M,t)}{\Delta t}$

注意到，质点位置也已经发生变化，因此从 $M$ 移动到 $M'$。为了解决这个问题，引入中间变量 $\mathbf{v}(M', t)$，构造为：

$\frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\underbrace{\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{v} (M',t+\Delta t)-\mathbf{v}(M',t)}{\Delta t}}_{\text{非恒定}}+\underbrace{\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{v} (M',t)-\mathbf{v}(M,t)}{\Delta t}}_{\text{非均匀}}$

而非恒定部分根据导数定义可以写作 ${\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial{t}}}$，而非均匀部分可以进一步引入从M到M’之间的距离MM’作为中间变量，化简可得到：

$\lim_{\Delta t \to 0}\frac{MM'}{\Delta t}\lim_{MM' \to 0}\frac{\mathbf{v} (M',t)-\mathbf{v}(M,t)}{MM'}=v\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial\mathbf{r}}$

整理可得：

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\underbrace{\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial{t}}}_{\text{局部导数}}+\underbrace{v\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial\mathbf{r}}}_{\text{对流导数}}$

而根据场论可知，随体导数可以化简为 $(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$ ，因此最后可写为：

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}= \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$

0x03.2.2 链式法则

我们也可以从全微分的角度出发求解：

已知速度函数可以写为
$\mathbf{v}=\mathbf{v}(x(t),y(t),z(t),t)$

因此全微分也可以写为：

$$\frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial \mathbf{r}} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}$$

通过以上推导，我们可知所有的矢量和标量都符合这一规则：

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \mathbf{a}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{a}$

$$\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial \psi}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \psi$$

可见，在加速度项的表达上，欧拉法更加简洁。

0x03.3 E-L 互换方法

0x03.3.1 L -> E

拉格朗日方法到欧拉方法相对比较简单，仅需要对各个方向对时间求导数，将各个变量求解并代回，用 $x, y, z$ 代替 $a, b, c$ 即可。

例子：
已知某流体运动的拉格朗日描述为：

$$x = a e^t, \quad y = b e^{-t}, \quad z = c$$

1. 求速度分量：

   $$u = \frac{\partial x}{\partial t} = a e^t, \quad v = \frac{\partial y}{\partial t} = -b e^{-t}, \quad w = \frac{\partial z}{\partial t} = 0$$

2. 反解初始坐标：

   $$a = x e^{-t}, \quad b = y e^t, \quad c = z$$

3. 代回速度式，得到欧拉描述的速度场：

   $$u = (x e^{-t}) e^t = x, \quad v = -(y e^t) e^{-t} = -y, \quad w = 0$$

最终得到：$\mathbf{v} = (x, -y, 0)$。

0x03.3.2 E -> L

由欧拉方法到拉格朗日方法需要求解偏微分方程，并根据初始条件确定常数项。注意，考研常微分方程中的公式很常用。

求解：

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + P(t)x = Q(t)$$

其通解公式为：

$$x(t) = e^{-\int P(t) \mathrm{d}t} \left[ \int Q(t) e^{\int P(t) \mathrm{d}t} \mathrm{d}t + C \right]$$

例子：
设一维流场的 Euler 描述为 $$u(x,t)=tx$$，求其对应的 Lagrange 描述。

设质点在 $t=0$ 时的位置为 $a$，则其轨迹满足

$$\frac{dx}{dt}=u(x,t)=tx,\qquad x(a,0)=a$$

分离变量得

$$\frac{dx}{x}=t\,dt$$

两边积分：

$$\int \frac{dx}{x}=\int t\,dt$$

所以

$$\ln x=\frac{t^2}{2}+C$$

即

$$x=C e^{t^2/2}$$

由初始条件 $x(a,0)=a$ 可得

$$C=a$$

故 Lagrange 描述为

$$\boxed{x(a,t)=a e^{t^2/2}}$$

0x04 流线和迹线

从上述介绍中可知，欧拉以场的观点描述，而拉格朗日则已质点运动的方式描述。据此，提出了流线和迹线的概念。

0x04.1 迹线

迹线是某一个流体质点在一段连续时间内的运动轨迹。它是拉格朗日观点的直接体现。

设质点在 $t_0$ 时刻的位置为 $(a, b, c)$，则迹线方程由下列常微分方程组确定：

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = u(x,y,z,t), \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = v(x,y,z,t), \quad \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = w(x,y,z,t)$$

通过积分，可以得到质点位置随时间的变化关系 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(a, b, c, t)$。

0x04.3 流线

流线是在某一特定时刻，流场中每一点的切线方向都与该点速度矢量 $\mathbf{v}$ 重合的曲线。它是欧拉观点的几何体现。

由于流线上微元 $\mathrm{d}\mathbf{r} = (\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z)$ 与速度矢量 $\mathbf{v} = (u, v, w)$ 平行，根据向量平行条件可得流线方程：

$$\frac{\mathrm{d}x}{u(x,y,z,t)} = \frac{\mathrm{d}y}{v(x,y,z,t)} = \frac{\mathrm{d}z}{w(x,y,z,t)} \quad (\text{此时 } t = \text{常数})$$

在一般情况下，流线和迹线基本不重合，仅在定常运动时二者重合。